【題目】用4個2能擺出那幾個數(shù)，其中那個數(shù)最大，為什么？

【思路】首先我們會想到2222，所以組成的數(shù)中一定有2222，還有我們會想到數(shù)學(xué)運(yùn)算符中的平方，比如222^2，22^22，2^222，那么我們思路可不可以延伸一下，思維方式再擴(kuò)展一下，4個2還可以寫成一個數(shù)的平方的平方等格式，那么我們還可以寫出(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2這4個數(shù)。一般這種格式的數(shù)，我們稱為是這個數(shù)的“超乘方”，比如：給出3個9，可以寫成這樣的形式：(9^9)^9，所得的數(shù)就是9的第三級“超乘方”

【解答】4個2所有可能的擺法一共有8種，即：

2222，222^2，22^22，2^222，(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2

這幾個數(shù)中，到底哪個最大呢？因此我們要比較這些數(shù)的大小。解題過程如下：

我們先來看看前面的4個數(shù)，也就是用兩層擺法得到的數(shù)，一般解釋為這個數(shù)的平方，就是含有2的平方數(shù)。顯然，第一個數(shù)字2222比后面的3個數(shù)都小。我們再比較一下2222后面的兩個數(shù)，也就是222^2，22^22

把22^22進(jìn)行如下變換: 22^22=22^ (2×11) =（22×22）^11=484^11

與222^2相比，484^11的底數(shù)和指數(shù)都要大得多，所以， 22^22>222^2

再比較一下22^22和第4個數(shù)2^222，我們?nèi)∫粋€比22^22更大的數(shù)32^22，下面就來證明，即使是32^22，也比2^222小

實(shí)際上， 32^22=(2^5)^22=2^110，這個數(shù)也比2^222小很多。

所以，前4個數(shù)中，2^222最大。

再來看后面4個數(shù)：

(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2

顯然這些數(shù)都是含有2的“超乘方”的數(shù)，通過對比我們知道最后一個數(shù)等于216，它肯定不是最大的，直接淘汰掉。根據(jù)由簡到難的解題思路，我們看到(22^2)^2是最簡單的，可以計算出這個數(shù)是： (22^2)^2 = 22^4，它是小于32^4=2^20，即，這個數(shù)是比(2^22)^2和(2^2)22都要小的。所以這個題目最后就變成了比較這3個數(shù)的大小：

2^222，(2^22)^2，(2^2)^22

通過對比和比較這3個數(shù)，我們得到這3個數(shù)都是以2為底的指數(shù)。所以題目演變?yōu)橹灰容^這3個指數(shù)——222、 484和2^22的大小即可，那個數(shù)的指數(shù)最大的對應(yīng)的數(shù)就最大。

通過簡單的對這三個數(shù)進(jìn)行對比，我們知道 2^22比222和484都要大的。因此得出用4個2擺成的最大的數(shù)是(2^2)^22。

那么這個數(shù)有多大呢？通過簡單的計算和約分(2^2)^22，我們來估算一下這個數(shù)到底有多大。

2^10 ≈ 1000 = 10^3

2^22 =(2 ^10)^2 ×2^2 ≈ 4×10^6

(2^2)^22 ≈ 2^4×10^6 = (2^10)^400000 ≈ 10^1200000

通過計算機(jī)我們可以算出(2^2)^22 = 17 5921 8604 4416，四舍五入大約是175922億，那么這個數(shù)到底有多大呢？可以說根本找不到一個東西來幫我們理解這個數(shù)有多大。所以一個正整數(shù)（不等于1）的“超乘方”，得到的數(shù)字都無法想象和形容。而且一個數(shù)的“超乘方”級數(shù)越高，數(shù)越大。

可得出用4個2組成的數(shù)總共有8個，這8個數(shù)為：2222，222^2，22^22，2^222，(22^2)^2，(2^22)^2，(2^2)^22，{(2^2)^2}^2，其中(2^2)^22這個數(shù)最大。